一、递推和数列的题型

（一）递推和数列的基本型

1、递推两项和数列

递推两项和数列是指从数列的第三项开始，每一项都等于它的前两项之和。

【例1】【国2002A—04】1， 3， 4， 7， 11， （ ）

A.14

B.16

C.18

D.20

【答案】C

【解析】1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=（8）

【例2】【江苏2005真题】1， 2， 3， 5， （ ）， 13

A.9

B.11

C.8

D.7

【答案】C

【解析】1+2=3，2+3=5，猜测：3+5=（8），检验：5+（8）=13，猜测合理。

2、递推三项和数列

递推三项和数列是指从数列的第四项开始，每一项都等于它前面三项的和。

【例】【国2005一类—30】0， 1， 1， 2， 4， 7， 13， （ ）

A.22

B.23

C.24

D.25

【答案】C

【解析】0+1+1=2，1+1+2=4，1+2+4=7，2+4+7=13，4+7+13=（24）

3、递推全项和数列

递推全项和数列是指数列中的每一项都等于它前面几项的和。

【例】1， 1， 2， 4， 8， 16， （ ）

【答案】32

【解析】1+1=2，1+1+2=4，1+1+2+4=8，1+1+2+4+8=16，1+1+2+4+8+16=（32）

（二）递推和数列的变式

1、递推两项和数列的变式

【例1】【国 2002 B4】 25， 15， 10， 5， 5，（ ）

A.10

B.5

C.0

D.-5

【答案】C

【解析】25-15=10，15-10=5，10-5=5，5-5=（0）

【点评】此数列为逆向递推和数列。

【例2】【2005国二 30】1， 2， 2， 3， 4， 6， （ ）

A.7

B.8

C.9

D.10

【答案】C

【解析】1+2-1=2，2+2-1=3，2+3-1=4，3+4-1=6，4+6-1=（9）

【点评】前两项和减去常数1等于第三项。

【例3】1， 2， 4， 5， 10， 14， （ ）

【答案】25

【解析】1+2+1=4，2+4-1=5，4+5+1=10，5+10-1=14，10+14+1=（25）

【点评】前两项的和加一周期数列等于第三项。

【例4】1， 2， 6， 16， 44， （ ）

【答案】120

【解析】(1+2)*2=6，(2+6)*2=16，(6+16)*2=44，(16+44)*2=120

【点评】前两项和的2倍等于第三项。

【例5】1， 1， 2， 3， 4， 7， 6， （ ）

【答案】11

【点评】每两项的和构成一质数数列。

【例6】-2， 4， 0， 8， 8， 24， 40， （ ）

【答案】72

【解析】(-2)*2+8=4，4*2-8=0，0*2+8=8，8*2-8=8，8*2+8=24，40*2-8=(72)

【点评】前一项的2倍加上一周期数列（8，-8，8，-8，8，-8）等于后一项。

【例7】2， 5， 9， 16， 35， （ ）

【答案】210

【解析】(5-2)*3=9，(9-5)*4=16，(16-9)*5=35，(35-16)*6=210

【点评】前两项作差后乘一变化的数列（等差数列）等于后一项。

2、三项和数列的变式

【例1】1， 1， 2， 4， 8， 16， （ ）

【答案】31

【解析】1+1+2+0=4，1+2+4+1=8，2+4+8+2=16，4+8+16+3=（31）

【点评】前三项的和加上一变化的数等于第四项。

【例2】1， 1， 2， 6， 8， 11， （ ）

【答案】17

二、2010年国考预测

以上是递推和数列的基本型和变式，这类数列的整体单调性并不明显，但是往往具有局部单调性，数字变化幅度成台阶式跨越，即某几项与后几项之间的整体变化幅度较大，且数列的项数较多，可以采用局部分析法。

递推和数列的变式是2010年国考的考察重点，递推和数列主要有以下变化趋势：

1、逆向递推和数列即数列前两项的差等于第三项；

2、前两项的和减去或加上一个常数列或一基本数列（等差数列、等比数列、周期数列、幂次数列、质数列、合数列，这几类数列均指其基本型）等于第三项；

3、前两项和或差的的倍数（常数列或者基本数列）等于第三项；

4、前一项的倍数加一常数列（或基本数列）等于第二项，或者前一项加上后一项的倍数等于第三项；

5、前两项的和构成一基本数列。

总之递推两项和数列的前两项与第三项或者第一项与第二项构成一种连续的递推关系。同理三项递推和数列有类似的规律。

尽管每年的新题层出不穷，但万变不离其宗，都是在其基本型的基础上不断衍生，通过这类题型的总结，可以猜测出题者就是以这种规律出题来考察我们对递推和数列的掌握程度。